Question

10．如圖，平面ABEF⊥平面CBED，四邊形ABEF為直角三角形，∠AFE=∠FEB=90°，四邊形CBED為等腰梯形，CD∥BE，且BE=2AF=2CD=2BC=2EF=4．
（Ⅰ）若梯形CBED內(nèi)有一點G，使得FG∥平面ABC，求點G的軌跡；
（Ⅱ）求多面體ABCDEF體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE的中點O，連接OD，OF，則DO∥BC，F(xiàn)O∥AB，可得平面DFO∥平面ABC，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用分割法，求多面體ABCDEF體積．

解答 解：（Ⅰ）取BE的中點O，連接OD，OF，則DO∥BC，F(xiàn)O∥AB，
∴平面DFO∥平面ABC，
∴G的軌跡為線段DO時，F(xiàn)G∥平面ABC；
（Ⅱ）三棱柱ABC-DOF的直截面的邊長分別為2，$\sqrt{3}$，$\sqrt{7}$，面積為$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，體積為$\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
三棱錐F-ODE的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
多面體ABCDEF體積=2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查幾何體體積的計算，正確分割是關(guān)鍵．