Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=

1

2

AA1=

2

2

BC，D，E，F(xiàn)分別是BC，BB₁，CC₁的中點．
（1）求證A₁E∥平面ADF；
（2）（理）求二面角B-AD-F的大小的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）取B₁C₁中點M，連接EM，A₁M，由已知得平面ADF∥平面A₁EM，由此能證明A₁E∥平面ADF．
（2）由已知得∠FDC是二面角F-AD-C的平面角，∠FDB為二面角B-AD-F的平面角，且∠FDC+∠FDB=π，由此能求出二面角B-AD-F的余弦值．

解答： （1）證明：取B₁C₁中點M，連接EM，A₁M，
∵DF∥EM，AD∥A₁M，AD∩DF=D，A₁M∩EM=M，
∴平面ADF∥平面A₁EM，
∵A₁E?平面A₁EM，
∴A₁E∥平面ADF．
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴F在平面ABC內(nèi)的射影點為C，
∴∠FDC是二面角F-AD-C的平面角，
∵tan∠FDC=

CF

CD

=

AA1

BC

=

2

，
∴cos∠FDC=

3

3

，
又∵∠FDB為二面角B-AD-F的平面角，且∠FDC+∠FDB=π，
∴cos∠FDB=cos（π-∠FDC）=-cos∠FDC=-

3

3

，
∴二面角B-AD-F的余弦值為-

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．