Question

12．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AA₁、BB₁的中點，G為棱A₁B₁上的一點，且A₁G=λ（0≤λ≤1），則點G到平面D₁EF的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 A₁B₁∥EF，∴點G到平面D₁EF的距離即為點A₁到平面D₁EF的距離，設這個距離為h，由${V}_{{A}_{1}-{D}_{1}EF}$=${V}_{{E-A}_{1}{D}_{1}E}$，能求出點G到平面D₁EF的距離．

解答 解：∵長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AA₁、BB₁的中點，
G為棱A₁B₁上的一點，且A₁G=λ（0≤λ≤1），
∴D₁E=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵A₁B₁∥EF，∴點G到平面D₁EF的距離即為點A₁到平面D₁EF的距離，
設這個距離為h，
∵${S}_{△{D}_{1}EF}$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}×1=\frac{\sqrt{5}}{4}$，${S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
${V}_{{A}_{1}-{D}_{1}EF}$=${V}_{{E-A}_{1}{D}_{1}E}$，
∴$\frac{1}{2}×{S}_{△{D}_{1}EF}×h=\frac{1}{2}×{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}×EF$，
∴h=$\frac{{S}_{△{A}_{1}{D}_{1}E}×EF}{{S}_{△{D}_{1}EF}}$=$\frac{\frac{1}{4}×1}{\frac{\sqrt{5}}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴點G到平面D₁EF的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．