【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足， ，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.

（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；

（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；

（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項(xiàng)取出，構(gòu)成數(shù)列 .證明：是等差數(shù)列.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)定義可以得到關(guān)于的方程組，解這個(gè)方程組可得.

（Ⅱ）我們可以先計(jì)算及，于是我們猜測(cè)，用數(shù)學(xué)歸納法可以證明這個(gè)結(jié)論.最后再去證明的“衍生數(shù)列”就是.我們也可以對(duì) ，進(jìn)行代數(shù)變形得到，再根據(jù)得到數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列中后者是前者的“衍生數(shù)列”，要證是等差數(shù)列，可證成等差數(shù)列，由（Ⅱ）中的證明可知，，代數(shù)變形后根據(jù)為奇數(shù)可以得到.也可以利用（Ⅱ）中的代數(shù)變形方法得到，從而得到， 即 成等差數(shù)列，再根據(jù)得到成等差數(shù)列.

（Ⅰ）解：因?yàn)?/span>，所以，

又，所以，

，故，同理有

，因此，，所以.

（Ⅱ）證法一：

證明：由已知， ，.

因此，猜想.

① 當(dāng)時(shí)，，猜想成立；

② 假設(shè)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)時(shí)猜想也成立.

由 ①、② 可知，對(duì)于任意正整數(shù)，有.

設(shè)數(shù)列 的“衍生數(shù)列”為 ，則由以上結(jié)論可知

，其中 .

由于為偶數(shù)，所以，

所以，其中.

因此，數(shù)列即是數(shù)列.

證法二：

因?yàn)?/span> ，

，

，

……

，

由于為偶數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以，相加得

即，

由于，，

根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.

（Ⅲ）證法一：

證明：設(shè)數(shù)列中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明 即可.

由（Ⅱ）中結(jié)論可知，

，

所以，，即成等差數(shù)列，

所以是等差數(shù)列.

證法二：

因?yàn)?/span>，

所以.

所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可.

對(duì)于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，

因?yàn)?/span> ，

，

，

……

，

由于為奇數(shù)數(shù)，將上述個(gè)等式中的第這個(gè)式子都乘以，相加得

即，

設(shè)數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，

因?yàn)?/span>，

所以， 即 成等差數(shù)列.

同理可證，也成等差數(shù)列.

即是等差數(shù)列.所以成等差數(shù)列.

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