【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,如圖E、F分別是BB1 , CD的中點,
(1)求證:D1F⊥AE;
(2)求直線EF與CB1所成角的余弦值.

【答案】
(1)證明:依題意知D(0,0,0),A(2,0,0),F(xiàn)(0,1,0),E(2,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),

=(0,0,1), =(0,1,﹣2),

=0,

∴AE⊥D1F;

∵AD⊥平面CDD1C1,D1F平面CDD1C1,

∴D1F⊥AD,

∵AE平面ADE,AD平面ADE,AE∩AD=A,

∴D1F⊥平面ADE


(2)解:依題意可知B1(1,1,1),C(0,1,0),F(xiàn)(0,1,0),E(2,2,1),

=(2,1,1), =(1,0,1),

∴cos< >= ,

∴異面直線EF和CB1所成的角余弦值為


【解析】(1)依題意分別求得A,E,D1和F的坐標,求出 , ,二者相乘等于0即可證明出AE⊥D1F進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出D1F⊥AD,最后根據(jù)線面垂直的判定定理證明出D1F⊥平面ADE.(2)分別求得 =(2,1,1), =(1,0,1),利用向量的夾角公式求得異面直線所成角的余弦值.
【考點精析】本題主要考查了異面直線及其所成的角的相關(guān)知識點,需要掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點,作另一條的平行線;2、補形法:把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能正確解答此題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓C的方程;
(2)求 的最小值,并求此時圓T的方程;
(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證:|OR||OS|為定值.

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①方程k 與方程y-2=k(x+1)可表示同一直線;
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③直線l過點P(x1 , y1),斜率為0,則其方程為yy1
④所有直線都有點斜式和斜截式方程.
其中正確的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4

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②若F1 , F2為左右焦點,A1 , A2為左右頂點,B1(0,b),B2(0,﹣b)且∠F1B1A2=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線;
③若MN經(jīng)過右焦點F2且MN⊥F1F2 , ∠MON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線.
其中正確命題的序號為

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A.66
B.153
C.295
D.361

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