Question

【題目】已知圓C：x2+y2=12，直線l：4x+3y=25．求圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率．

Answer 1

【答案】解：設(shè)直線l'：4x+3y﹣C=0，

l'與直線l：4x+3y=25的距離等于2，且與已知圓相交，

得 =2，解之得C=15或35

∵C＜25，可得C=15

∴到直線l：4x+3y=25的距離等于2且與已知圓相交的直線

為直線l'：4x+3y﹣15=0，

設(shè)l'交圓x2+y2=12于E、B兩點(diǎn)，過圓心作EB的垂線，垂足為D，

則D為EB的中點(diǎn)，

∵|OD|= =3，

∴Rt△EOD中，cos∠EOD= = ，得∠EOD=30°

由此可得∠EOB=60°

當(dāng)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2時(shí)，點(diǎn)A位于劣弧BE上，

因此，所求概率為P= = ．

【解析】根據(jù)平行線的距離公式，算出到直線l：4x+3y=25的距離等于2且與已知圓相交的直線為直線l'：4x+3y﹣15=0．設(shè)l'交圓x2+y2=12于E、B兩點(diǎn)，由圖形觀察可得當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A位于劣弧BE上時(shí)點(diǎn)A到直線l的距離小于2．由此利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合垂徑定理和三角函數(shù)的定義算出∠EOB=60°，即可得到所求概率．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的幾何概型，需要了解幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等才能得出正確答案．