Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數(shù)，a≠0，x∈R）
（1）若函數(shù)f（x）的圖象過點（-2，1），且函數(shù)f（x）有且只有一個零點，求f（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈（-1，2）時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（-2）=1，函數(shù)f（x）有且只有一個零點，所以△=0，解方程可得a，b，進(jìn)而得到f（x）的表達(dá)式；
（2）求出g（x）的表達(dá)式，配方，求得對稱軸，討論函數(shù)單調(diào)遞減和遞增，區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）因為f（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a
因為函數(shù)f（x）有且只有一個零點，所以△=b²-4a=0，
所以4a²-4a=0，所以a=1，b=2．
所以f（x）=（x+1）²；
（2）$g（x）=f（x）-kx={x^2}+2x+1-kx={x^2}-（{k-2}）x+1={（{x-\frac{k-2}{2}}）^2}+1-\frac{{{{（{k-2}）}^2}}}{4}$，
由g（x）的圖象知，要滿足題意，
則$\frac{k-2}{2}≥2$或$\frac{k-2}{2}≤-1$，即k≥6或k≤0，
∴所求實數(shù)k的取值范圍為（-∞，0]∪[6，+∞）．

點評 本題考查二次函數(shù)解析式的求法，注意運(yùn)用方程思想，考查函數(shù)的單調(diào)性，注意運(yùn)用分類討論和二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．