Question

5．已知函數(shù)y=x³-2x²+x+3，x∈[-1，2]，求此函數(shù)的
（1）單調(diào)區(qū)間；
（2）值域．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，列出x，f′（x），f（x）的關(guān)系表，可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）比較極值與端點(diǎn)值可得函數(shù)的值域．

解答 解：（1）由y=x³-2x²+x+3，得y′=3x²-4x+1，
由y′=3x²-4x+1=0，得${x}_{1}=\frac{1}{3}$，x₂=1．
x，f′（x），f（x）的關(guān)系列表如下：

x	-1	（-1，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-1	↑	$\frac{85}{27}$	↓	3	↑	5

由表可知，函數(shù)的增區(qū)間為：$（{-1，\frac{1}{3}}）$，（1，2）；減區(qū)間為$（{\frac{1}{3}，1}）$；
（2）函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的值域?yàn)椋篬-1，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．