Question

2．已知f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\vec a$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\vec b$=（cosx，1），x∈R．
（1）求f（x）的周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f（A）=-1，a=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，且向量$\overrightarrow m=（3，sinB）$與$\overrightarrow n=（2，sinC）$共線，求邊長b和c的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量數(shù)量積的公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)條件先求出A的大小，結(jié)合余弦定理以及向量共線的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可．

解答 解（1）由題意知f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2cos²x-$\sqrt{3}$sin2x=1+cos2x-$\sqrt{3}$sin2x=1+2cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
則函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由$2kπ-π≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ$，得$kπ-\frac{2π}{3}≤x≤kπ-\frac{π}{6}$
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z
（2）∵$f（A）=1+2cos（{2A+\frac{π}{3}}）=-1$，∴$cos（{2A+\frac{π}{3}}）=-1$，又$\frac{π}{3}＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{3}$，
∴$2A+\frac{π}{3}=π$，即$A=\frac{π}{3}$．
∵$a=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc．
因?yàn)橄蛄?\overrightarrow m=（3，sinB）$與$\overrightarrow n=（2，sinC）$共線，所以2sinB=3sinC，
由正弦定理得2b=3c．∴$b=\frac{3}{2}，c=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用以及向量與三角函數(shù)的綜合，利用三角函數(shù)的輔助角公式以及正弦定理余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．