Question

14．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），f（x）=f（2-x），且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，1]內(nèi)有且只有一個零點$\frac{1}{2}$，則y=f（x）在區(qū)間[0，2 016]上的零點的個數(shù)為（　　）

• A． 2 012
• B． 1 006
• C． 2 016
• D． 1 007

Answer 1

分析 判斷出f（x）的周期為2，且關于x=1對稱，于是f（x）在一個周期內(nèi)有2個零點，利用周期求出[0，2016]上的零點個數(shù)．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2為周期的函數(shù)．
∵f（x）=f（2-x），∴f（1+x）=f（1-x），∴f（x）關于直線x=1對稱，
∵f（x）在[0，1]上只有一個零點$\frac{1}{2}$，∴f（x）在[1，2]上只有一個零點$\frac{3}{2}$，
即f（x）在周期[0，2]上只有2個零點$\frac{1}{2}$和$\frac{3}{2}$，
∴f（x）在[0，2016]上共有2×$\frac{2016}{2}$=2016個零點．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性與對稱性的應用，屬于中檔題．