Question

已知a=

∫

π 0

|sinx-cosx|dx，則x³（ax+

1

x

）⁷的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

 

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,二項(xiàng)式定理

分析：根據(jù)函數(shù)的積分公式求出a的值，利用二項(xiàng)展開式的內(nèi)容即可得到結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)0≤x≤

π

4

時(shí)，sinx＜cosx，|sinx-cosx|=cosx-sinx，
當(dāng)

π

4

＜x≤π時(shí)，sinx＞cosx，|sinx-cosx|=sinx-cosx，
∴根據(jù)函數(shù)的積分公式可得a=

∫

π 0

|sinx-cosx|dx=

∫

π 4 0

(cosx-sinx)dx+

∫

π π 4

(sinx-cosx)dx
=（sinx+cosx）|

π 4 0

+（-cosx-sinx）|

π π 4

=

2

2

+

2

2

-1-（-1-

2

2

-

2

2

）=2

2

．
要求x³（ax+

1

x

）⁷的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，
則只需求出（ax+

1

x

）⁷的展開式中的x^-3項(xiàng)的系數(shù)即可，
則展開式的通項(xiàng)公式為C

k 7

(ax)7-k•(

1

x

)k=

C

k 7

a7-k•x7-2k，
由7-2k=-3得k=5，此時(shí)對應(yīng)的系數(shù)為

C

5 7

a2=21×（2

2

）²=21×8=168，
故答案為：168

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)展開式的應(yīng)用，利用積分公式求出a是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．