Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足$\root{3}{a_n}≤{a_{n+1}}≤a_n^3，n∈{N_+}$，${a_1}=\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）若a₂=2，a₃=x，a₄=27，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：${a_{n+1}}=a_n^p$，n∈N₊．設(shè)T_n=a₁•a₂•…•a_n，若$\root{3}{T_n}≤{T_{n+1}}≤T_n^3$，n∈N₊，求p的取值范圍；
（Ⅲ）若a₁，a₂，…，a_k成公比q的等比數(shù)列，且${a_1}•{a_2}•…•{a_k}={（\frac{3}{2}）^{1000}}$，求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時(shí)相應(yīng)數(shù)列a₁，a₂，…，a_k的公比q．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)代入聯(lián)立$\root{3}{2}≤x≤8$、$\root{3}{x}≤27≤{x^3}$可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)換元令b_n=lga_n、設(shè)S_n=lgb₁+…+lgb_n，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：若$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，求p的范圍．利用$\frac{1}{3}{b_1}≤{b_2}≤3{b_1}$可知$\frac{1}{3}≤p≤3$．進(jìn)而分p=1、1＜p≤3、$\frac{1}{3}≤p＜1$三種情況討論即可；
（Ⅲ）通過(guò)令${c_n}={log_{\frac{3}{2}}}{a_n}$，可知{c_n}是首項(xiàng)為1、公差為$d={log_{\frac{3}{2}}}q$的等差數(shù)列，進(jìn)而取特殊值確定k_max≥1000，轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）依題意，$\root{3}{a_2}≤{a_3}≤a_2^3$，
因?yàn)閍₂=2，a₃=x，所以$\root{3}{2}≤x≤8$，
又因?yàn)閍₄=27，$\root{3}{a_3}≤{a_4}≤a_3^3$，所以$\root{3}{x}≤27≤{x^3}$，
綜上可得3≤x≤8；
（Ⅱ）令b_n=lga_n，則b_n是公比為p的等比數(shù)列，$\frac{1}{3}{b_n}≤{b_{n+1}}≤3{b_n}$，
設(shè)S_n=lgb₁+…+lgb_n，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：若$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，求p的范圍．
由已知得${b_n}={b_1}{q^{n-1}}$=q^n-1•$lg\frac{3}{2}$，又$\frac{1}{3}{b_1}≤{b_2}≤3{b_1}$，所以$\frac{1}{3}≤p≤3$．
（1）當(dāng)p=1時(shí)，S_n=n，$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，即$\frac{n}{3}≤n+1≤3n$，成立；
（2）當(dāng)1＜p≤3時(shí)，${S_n}={b_1}\frac{{{p^n}-1}}{p-1}$，$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，即$\frac{1}{3}\frac{{{p^n}-1}}{p-1}≤\frac{{{p^{n+1}}-1}}{p-1}≤3\frac{{{p^n}-1}}{p-1}$，
∴$\frac{1}{3}≤\frac{{{p^{n+1}}-1}}{{{p^n}-1}}≤3$，此不等式即$\left\{{\begin{array}{l}{3{p^{n+1}}-{p^n}-2≥0}\\{{p^{n+1}}-3{p^n}+2≤0}\end{array}}\right.$，
∵p＞1，∴3pⁿ⁺¹-pⁿ-2=pⁿ（3p-1）-2＞2pⁿ-2＞0，
對(duì)于不等式pⁿ⁺¹-3pⁿ+2≤0，令n=1，得p²-3p+2≤0，解得1≤p≤2，
又當(dāng)1＜p≤2時(shí)，p-3＜0，∴pⁿ⁺¹-3pⁿ+2=pⁿ（p-3）+2≤p（p-3）+2=（p-1）（p-2）≤0成立，
所以1＜p≤2；
（3）當(dāng)$\frac{1}{3}≤p＜1$時(shí)，${S_n}={b_1}\frac{{1-{p^n}}}{1-p}$，$\frac{1}{3}{S_n}≤{S_{n+1}}≤3{S_n}$，即$\frac{1}{3}\frac{{1-{p^n}}}{1-p}≤\frac{{1-{p^{n+1}}}}{1-p}≤3\frac{{1-{p^n}}}{1-p}$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{3{p^{n+1}}-{p^n}-2≤0}\\{{p^{n+1}}-3{p^n}+2≥0}\end{array}}\right.$，3p-1＞0，p-3＜0，
∵3pⁿ⁺¹-pⁿ-2=qⁿ（3q-1）-2＜2qⁿ-2＜0pⁿ⁺¹-3pⁿ+2=pⁿ（p-3）+2≥p（p-3）+2=（p-1）（p-2）＞0，
∴$\frac{1}{3}≤p＜1$時(shí)，不等式恒成立．
綜上，q的取值范圍為$\frac{1}{3}≤p≤2$．
（Ⅲ）令${c_n}={log_{\frac{3}{2}}}{a_n}$，則c_n是首項(xiàng)為1，公差為$d={log_{\frac{3}{2}}}q$的等差數(shù)列，
滿足c₁+c₂+…+c_k=1000．顯然，當(dāng)k=1000，d=0時(shí)，是一組符合題意的解，∴k_max≥1000，
則由已知得$\frac{1+（k-2）d}{3}≤1+（k-1）d≤3[1+（k-2）d]$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{（2k-1）d≥-2}\\{（2k-5）d≥-2}\end{array}}\right.$，當(dāng)k≥1000時(shí)，不等式即$d≥-\frac{2}{2k-1}，d≥-\frac{2}{2k-5}$，
∴$d≥-\frac{2}{2k-1}$，${a_1}+{a_2}+…+{a_k}=k+\frac{k（k-1）d}{2}=1000$，
∴k≥1000時(shí)，$d=\frac{2000-2k}{k（k-1）}≥-\frac{2}{2k-1}$，
解得$1000-\sqrt{999000}≤k≤1000+\sqrt{999000}$，∴k≤1999，
∴k的最大值為1999，此時(shí)公差$d=\frac{2000-2k}{k（k-1）}=-\frac{1998}{1999×1998}=-\frac{1}{1999}$，
此時(shí)公比$q={（\frac{3}{2}）^{-\frac{1}{1999}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，涉及最值問(wèn)題，考查分類討論的思想，考查轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．