Question

5．已知函數(shù)$f（x）=-\frac{x^2}{2}+（{a-1}）x+（{2-a}）lnx+\frac{3}{2}（{a＜3}）$．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=-\frac{x^2}{2}+（{a-1}）x+（{2-a}）lnx+\frac{3}{2}（{a＜3}）$，
∴$f（1）=a，f'（x）=-x+a-1+\frac{2-a}{x}$，f'（1）=0，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=a；
（2）∵$f'（x）=-x+a-1+\frac{2-a}{x}=\frac{{-{x^2}+（{a-1}）x+2-a}}{x}（{x＞0}）$，
∴f'（x）＞0?-x²+（a-1）x+2-a＞0，
f'（x）＜0?-x²+（a-1）x+2-a＜0，
令g（x）=-x²+（a-1）x+2-a=0，解得x₁=1，x₂=a-2，
由已知，a＜3，
①當2＜a＜3時，0＜x₂＜x₁，g（x）＞0的解是a-2＜x＜1，
g（x）＜0的解是0＜x＜a-2或x＞1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（a-2，1），單調(diào)減區(qū)間是（0，a-2），（1，+∞）；
②當a≤2時，x₂≤0，g（x）＞0的解是0＜x＜1，g（x）＜0的解是x＞1，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞），
綜上所述，當2＜a＜3時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（a-2，1），
單調(diào)減區(qū)間是（0，a-2），（1，+∞）；
當a≤2時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（1，+∞）．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．