Question

1．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，己知直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2pcosθ（p＞0）．
（1）設(shè)t為參數(shù)，若x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，求直線l的參數(shù)方程；
（2）已知直線l與曲線C交于P、Q，設(shè)M（-2，-4），且|PQ|²=|MP|•|MQ|，求實(shí)數(shù)p的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可化為直角坐標(biāo)方程．由x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，可得y=x-2=-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，即可得出直線l的參數(shù)方程．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），即可化為直角坐標(biāo)方程．把直線l的參數(shù)方程代入可得：t²-（8+2p）$\sqrt{2}$t+8p+32=0．不妨設(shè)|MP|=t₁，|MQ|=t₂．|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．利用|PQ|²=|MP|•|MQ|，即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，化為直角坐標(biāo)方程：x-y-2=0．
∵x=-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，∴y=x-2=-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，∴直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2pcosθ（p＞0），即為ρ²sin²θ=2pρcosθ（p＞0），可得直角坐標(biāo)方程：y²=2px．
把直線l的參數(shù)方程代入可得：t²-（8+2p）$\sqrt{2}$t+8p+32=0．
∴t₁+t₂=（8+2p）$\sqrt{2}$，t₁t₂=8p+32．
不妨設(shè)|MP|=t₁，|MQ|=t₂．
|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{2（8+2p）^{2}-4（8p+32）}$=$\sqrt{8{p}^{2}+32p}$．
∵|PQ|²=|MP|•|MQ|，
∴8p²+32p=8p+32，
化為：p²+3p-4=0，
解得p=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與拋物線相交弦長、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．