Question

3．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB、BB₁的中點，AB=BC．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）連結AC₁，交A₁C點O，連DO，推出OD∥BC₁，即可證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）取AC的中點F，連結EO，OF，F(xiàn)B，證明四邊形BEOF是平行四邊形，證明BF⊥AC，BF⊥CC₁，得到BF⊥平面ACC₁A₁，然后證明平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁．

解答 解：（1）連結AC₁，交A₁C點O，連DO，則O是AC₁的中點，
因為D是AB的中點，故OD∥BC₁…（2分）
因為OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD…（3分）
所以BC₁∥平面A₁CD…（4分）
（2）取AC的中點F，連結EO，OF，F(xiàn)B，
因為O是AC₁的中點，
故OF∥AA₁且$OF=\frac{1}{2}$AA₁…（5分）
顯然BE∥AA₁且$BE=\frac{1}{2}$AA₁
所以OF∥BE且OF=BE…（6分）
則四邊形BEOF是平行四邊形…（7分）
所以EO∥BF…（8分）
因為AB=BC
所以BF⊥AC…（9分）
又BF⊥CC₁
所以直線BF⊥平面ACC₁A₁…（10分）
因為EO∥BF
所以直線EO⊥平面ACC₁A₁…（11分）
所以平面A₁EC⊥平面ACC₁A₁…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面平行的判定定理的應用，考查邏輯推理能力．