Question

2．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），則滿足$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C_1}}=-1$的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A（2，0，0），C₁ （0，2，2），考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，2），則由題意可得0≤x≤2，0≤y≤2，計(jì)算$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C}_{1}}$=x²-2x+y²-2y=（x-1）²+（y-1）²-2=-1，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD₁所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則點(diǎn)A（2，0，0），C₁ （0，2，2），考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y，2），則由題意可得0≤x≤2，0≤y≤2．
∴$\overrightarrow{PA}$=（2-x，-y，-2），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（-x，2-y，0），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C}_{1}}$=-x（2-x）-y（2-y）+0=x²-2x+y²-2y=（x-1）²+（y-1）²-2=-1，
∵點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），
∴（x-1）²+（y-1）²=1與正方形A₁B₁C₁D₁切于4個(gè)點(diǎn)，
同理P在右側(cè)面的棱上，也有4個(gè)點(diǎn)，
下底面中P（2，1，0），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（0，-1，0）•（-2，1，2）=-1，P（0，1，0），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（2，-1，0）•（0，1，2）=-1，
內(nèi)側(cè)面，P（0，0，1），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（2，0，-1）•（0，2，1）=-1，P（0，2，1），$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（2，-2，-1）•（0，0，1）=-1，
∴滿足$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{P{C_1}}=-1$的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為12
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．