Question

15．（Ⅰ）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)F（1，0），離心率等于$\frac{1}{2}$，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求與雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$有共同的漸近線，且過點(diǎn)$（-3，2\sqrt{3}）$的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，由焦點(diǎn)坐標(biāo)得到c，再由離心率求出a，由b²=a²-c²求出b²，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，λ≠0，把點(diǎn)（0，-8）代入，能求出雙曲線方程

解答 解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的方程為C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），所以c=1，
又離心率等于$\frac{1}{2}$，所以a=2，則b²=a²-c²=3．
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
（Ⅱ）解：∵雙曲線與$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$有共同的漸近線，且過點(diǎn)$（-3，2\sqrt{3}）$，
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，λ≠0，
把點(diǎn)$（-3，2\sqrt{3}）$代入，得：λ=$\frac{1}{4}$
∴雙曲線方程為$\frac{4{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故雙曲線的方程為：$\frac{4}{9}{x^2}-\frac{y^2}{4}=1$

點(diǎn)評 本題考查橢圓、雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用