Question

13．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出AC⊥BD，AC⊥DE，由此能證明AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）該幾何體的體積V=V_B-AEF+V_E-ABCD，由此能求出該幾何體的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵ABCD是邊長為3的正方形，∴AC⊥BD，
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．
解：（Ⅱ）∵ABCD是邊長為3的正方形，AF∥DE，DE=3AF，
BE與平面ABCD所成角為60°．
∴BD=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，ED=3$\sqrt{6}$，AF=$\sqrt{6}$，
由題意得DE⊥平面ABCD，AB⊥平面AEF，
∴該幾何體的體積：
V=V_B-AEF+V_E-ABCD
=$\frac{1}{3}×3×[\frac{1}{2}（\sqrt{6}+3\sqrt{6}）×3-\frac{1}{2}×3×3\sqrt{6}]$+$\frac{1}{3}×3\sqrt{6}×{3}^{2}$
=$\frac{21\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．