Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a、b、c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�
①對(duì)于一切x∈（-∞，1）都有f（x）＞0；
②存在x＞0使a^x，b^x，c^x不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)；
③若△ABC為鈍角三角形，則存在x∈（1，2），使f（x）=0．

• A． 3個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 1個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 ①利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以a．b．c構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行證明；
②可以舉反例進(jìn)行判斷；
③利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷．

解答 解：對(duì)于①，a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，∴a+b＞c，
∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{c}$＜1，
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{c}）}^{x}$-1]
＞c^x•（$\frac{a}{c}$+$\frac{c}$-1）=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，∴①正確；
對(duì)于②，令a=2，b=3，c=4，則a，b，c可以構(gòu)成三角形，
但a²=4，b²=9，c²=16卻不能構(gòu)成三角形，∴②正確；
對(duì)于③，c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴由根的存在性定理可知在區(qū)間（1，2）上存在零點(diǎn)，
即?x∈（1，2），使f（x）=0，∴③正確；
綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合題．