Question

9．點(diǎn)P到橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}$，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

Answer 1

分析 由向量的共線定義，則$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{OQ}$=（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{y}{2}$），代入橢圓方程，即可求得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答 解：設(shè)Q（x，y），由$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}$，則$\overrightarrow{P{F}_{1}}$+$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{PO}$=-2$\overrightarrow{OP}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OQ}$=（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{y}{2}$），
∵P是橢圓上$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的任意一點(diǎn)，則P（-$\frac{x}{2}$，-$\frac{y}{2}$），
代入橢圓方程：$\frac{（-\frac{x}{2}）^{2}}{4}+\frac{（-\frac{y}{2}）^{2}}{3}=1$，整理得：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
故答案：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量運(yùn)算法則的合理運(yùn)用，屬于中檔題，．