Question

2．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=\frac{1}{2}+tsinα\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程；
（2）已知點P的直角坐標為$（-1，\frac{1}{2}）$，直線l與曲線C相交于不同的兩點A，B，求|PA|•|PB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標與直角坐標互化公式即可得出．
（2）將直線l的參數方程與橢圓C的直角坐標方程聯立，利用一元二次方程的根與系數的關系即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標方程為${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}$，可得4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，可得曲線C的直角坐標方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）∵點P在橢圓C的內部，故l與C恒有兩個交點，即α∈R，將直線l的參數方程與橢圓C的直角坐標方程聯立，
得${（-1+tcosα）^2}+4{（\frac{1}{2}+tsinα）^2}=4$，整理得（1+3sin²α）t²+（4sinα-2cosα）t-2=0，
則$|PA|•|PB|=\frac{2}{{1+3{{sin}^2}α}}∈[\frac{1}{2}，2]$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標互化公式、直線的參數方程的應用、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．