Question

17．設直線l與拋物線y²=4x相交于不同兩點A、B，與圓（x-5）²+y²=r²（r＞0）相切于點M，且M為線段AB的中點．
（1）若△AOB是正三角形（O為坐標原點），求此三角形的邊長；
（2）若r=4，求直線l的方程；
（3）試對r∈（0，+∞）進行討論，請你寫出符合條件的直線l的條數(shù)（只需直接寫出結果）

Answer 1

分析 （1）若△AOB是正三角形（O為坐標原點），求出A的坐標，即可求此三角形的邊長；
（2）若r=4，設直線l：x=ky+b，分類討論，即可求直線l的方程；
（3）根據直線與圓的位置關系，可得結論．

解答 解：（1）設△AOB的邊長為a，
則A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$±\frac{1}{2}a$），∴$\frac{{a}^{2}}{4}=4•\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴$a=8\sqrt{3}$；
（2）設直線l：x=ky+b，
k=0時，x=1，x=9符合題意；
k≠0時，方程聯(lián)立可得y²-4ky-4b=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4k，x₁+x₂=4k²+2b，
∴M（2k²+b，2k），
∵k_AB•k_OM=-1，
∴k_OM=$\frac{2k}{2{k}^{2}+b-5}$=-k，
∴b=3-2k²，
∴△=16（k²+b）＞0，∴0＜k²＜3，
∵4=r=$\frac{|5-b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∴k²=3∉（0，3），舍去，
綜上所述，直線l的方程為x=1，x=9；
（3）2＜r＜4時，直線l有4條；
r∈（0，2]∪[4，5）時，2條；
r∈[5，+∞），1條．

點評 本題考查直線與拋物線、圓的位置關系的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．