Question

2．若圓x²+y²-2x-2y=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則直線l的傾斜角的取值范圍是（　�。�

• A． [15°，45°]
• B． [15°，75°]
• C． [30°，60°]
• D． [0°，90°]

Answer 1

分析 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心A的坐標(biāo)和半徑r的值，由圓A上有且僅有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則圓心A到直線l的距離等于r-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，故利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的取值范圍，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出直線l的傾斜角．

解答 解：由圓x²+y²-2x-2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-1）²+（y-1）²=2，則圓心為（1，1），半徑為$\sqrt{2}$，
圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y=kx的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則圓心到直線的距離應(yīng)不大于等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{丨1-k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，整理得：k²-4k+1≤0，解得：2-$\sqrt{3}$≤k≤2+$\sqrt{3}$，
由tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}$=2-$\sqrt{3}$，
tan75°=tan（45°+30°）=$\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°tan30°}$=2+$\sqrt{3}$，
k=tnaα，則直線l的傾斜角的取值范圍[15°，75°]，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，兩角和與差的正切函數(shù)公式，直線斜率與傾斜角的關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，屬于中檔題．