【題目】某中學(xué)的甲、乙、丙三名同學(xué)參加高校自主招生考試,每位同學(xué)彼此獨(dú)立的從四所高校中選2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同學(xué)特別喜歡高校,他必選校,另在三校中再隨機(jī)選1所;而同學(xué)乙和丙對(duì)四所高校沒(méi)有偏愛(ài),因此他們每人在四所高校中隨機(jī)選2所.
(。┣蠹淄瑢W(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率;
(ⅱ)記為甲、乙、丙三名同學(xué)中選校的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(。(ⅱ)分布列見(jiàn)解析,期望為.
【解析】
(Ⅰ)先根據(jù)古典概型概率求甲同學(xué)選高校的概率,同理可得乙、丙同學(xué)選高校的概率,最后根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式得結(jié)果,(Ⅱ)(。┫雀鶕(jù)古典概型概率求甲同學(xué)選高校的概率以及乙、丙未選高校的概率,最后根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式得結(jié)果,(ⅱ)先確定隨機(jī)變量的取法,再分別求對(duì)應(yīng)概率,列表得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式得結(jié)果.
(Ⅰ)甲從四所高校中選2所,共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六種方法,
甲同學(xué)都選高校,共有AD,BD,CD三種方法,甲同學(xué)選高校的概率為,
因此乙、丙同學(xué)選高校的概率皆為,
因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立,所以甲、乙、丙三名同學(xué)都選高校的概率為
(Ⅱ)(。┘淄瑢W(xué)必選校且選高校的概率為,乙未選高校的概率為,丙未選高校的概率為,因?yàn)槊课煌瑢W(xué)彼此獨(dú)立,所以甲同學(xué)選高校且乙、丙都未選高校的概率,
(ⅱ)
因此,,
,
,
即分布列為
0 | 1 | 2 | 3 | |
P |
因此數(shù)學(xué)期望為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)前,以“立德樹(shù)人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn)。目前,國(guó)家教育主管部門(mén)正在研制的《新時(shí)代全面加強(qiáng)和改進(jìn)學(xué)校體育美育工作意見(jiàn)》,以及將出臺(tái)的加強(qiáng)勞動(dòng)教育指導(dǎo)意見(jiàn)和勞動(dòng)教育指導(dǎo)大綱,無(wú)疑將對(duì)體美勞教育提出剛性要求。為激發(fā)學(xué)生加強(qiáng)體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長(zhǎng),某校開(kāi)展了校級(jí)排球比賽,現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿(mǎn)8局時(shí)停止。設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立。已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.
(1)求的值;
(2)設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù) ,有,在 上, ,若 ,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.B.
C.[-3,3]D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是正方形,平面,分別為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求平面與平面所成銳二面角的大。
(3)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與直線所成的角為?若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象(能力指標(biāo))、推理(能力指標(biāo))、建模(能力指標(biāo))的相關(guān)性,并將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí),再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí);若,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí),為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng),調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生,得到如下結(jié)果:
學(xué)生編號(hào) | ||||||||||
(1)在這10名學(xué)生中任取兩人,求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率;
(2)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生中任取一人,其綜合指標(biāo)為,從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)不是一級(jí)的學(xué)生中任取一人,其綜合指標(biāo)為,記隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)食堂用餐的滿(mǎn)意度,從全校在食堂用餐的3000名學(xué)生中,隨機(jī)抽取100名學(xué)生對(duì)食堂用餐的滿(mǎn)意度進(jìn)行評(píng)分.根據(jù)學(xué)生對(duì)食堂用餐滿(mǎn)意度的評(píng)分,得到如圖所示的率分布直方圖,
(1)求頻率分布直方圖中的值
(2)規(guī)定:學(xué)生對(duì)食堂用餐滿(mǎn)意度的評(píng)分不低于80分為“滿(mǎn)意”,試估計(jì)該校在食堂用餐的3000名學(xué)生中“滿(mǎn)意”的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球,球的編號(hào)分別為.
(1)從袋中隨機(jī)抽取兩個(gè)球,求取出的球的編號(hào)之和為偶數(shù)的概率;
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為,將球放回袋中,然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球,該球的編號(hào)為,求的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),給出下列結(jié)論:
①的單調(diào)遞減區(qū)間;
②當(dāng)時(shí),直線y=k與y=f (x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn);
③函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象沒(méi)有公共點(diǎn);
④當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為2.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是_________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形是矩形,沿對(duì)角線將折起,使得點(diǎn)在平面上的射影恰好落在邊上.
(1)求證:平面平面;
(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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