Question

18．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，AA₁=AC=CB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AB．
（1）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求異面直線BC₁和A₁D所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接AC₁與A₁C相交于點(diǎn)F，連接DF，推導(dǎo)出BC₁∥DF，由此能證明BC₁∥平面A₁CD．
（2）法一（幾何法）：
由（1）得∠A₁DF或其補(bǔ)角為異面直線BC₁和A₁D所在角，由此能求出異面直線BC₁和A₁D所成角的大�。�
法二（向量法）：
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{CA}$的方向?yàn)閤軸正方向，$\overrightarrow{CB}$的方向?yàn)閥軸正方向，$\overrightarrow{C{C_1}}$的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．利用向量法能求出異面直線BC₁與A₁D所成角．

解答 證明：（1）連接AC₁與A₁C相交于點(diǎn)F，連接DF．
由矩形ACC₁A₁可得點(diǎn)F是AC₁的中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，
∴BC₁∥DF，
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
解：（2）解法一（幾何法）：
由（1）得∠A₁DF或其補(bǔ)角為異面直線BC₁和A₁D所在角，
設(shè)AB=2，則$DF=\frac{1}{2}B{C_1}=\frac{1}{2}\sqrt{B{C^2}+{C_1}{C^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{{（{\sqrt{2}}）}^2}}=1$，
${A_1}D=\sqrt{{A_1}{A^2}+A{D^2}}=\sqrt{{{（{\sqrt{2}}）}^2}+{1^2}}=\sqrt{3}$，${A_1}F=\frac{1}{2}{A_1}C=1$．
在△A₁DF中，由余弦定理得：
$cos∠{A_1}DF=\frac{{{1^2}+{{（{\sqrt{3}}）}^2}-{1^2}}}{{2×1×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且∠A₁DF∈（0，π），
∴$∠{A_1}DF=\frac{π}{6}$，
∴異面直線BC₁和A₁D所成角的大小為$\frac{π}{6}$．
解法二（向量法）：∵$A{A_1}=AC=CB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$，
令A(yù)A₁=AC=CB=2，$AB=2\sqrt{2}$，∴AC⊥BC．
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{CA}$的方向?yàn)閤軸正方向，$\overrightarrow{CB}$的方向?yàn)閥軸正方向，$\overrightarrow{C{C_1}}$的方向?yàn)閦軸正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則D（1，1，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B（0，2，0），
$\overrightarrow{B{C_1}}=（{0，-2，2}）$，$\overrightarrow{{A_1}D}=（{-1，1，-2}）$．
設(shè)異面直線BC₁與A₁D所成角為θ，
則$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{B{C_1}}•\overrightarrow{{A_1}D}}|}}{{|{\overrightarrow{B{C_1}}}||{\overrightarrow{{A_1}D}}|}}=\frac{{|{0-2-4}|}}{{\sqrt{8}•\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{6}$，
∴異面直線BC₁與A₁D所成角為$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．