Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_n+2-a_n=d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a₁=2，a₂=2，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求d的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，c_n=（-1）ⁿ•b_n，求數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求得a₃=2+d，a₇=2+3d，結(jié)合a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列求得d，可得a_n+2-a_n=2．然后分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把a(bǔ)_n代入b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，再求出$_{2n-1}=\frac{（2n）^{2}}{2n•2n}=1$．結(jié)合c_n=（-1）ⁿ•b_n，可得${c}_{2n-1}+{c}_{2n}=（-1）^{2n-1}_{2n-1}+（-1）^{2n}_{2n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．則數(shù)列{c_n}的前2n項(xiàng)和S_2n可求．

解答 解：（Ⅰ）由已知，a₃=2+d，a₇=2+3d，
∵a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
∴（2+d）²=2（2+3d），解得d=2或d=0（舍）．
于是a_n+2-a_n=2．
當(dāng)n=2k時(shí)，a_n=a_2k=a₂+（k-1）×2=2k=n；
當(dāng)n=2k-1時(shí)，a_n=a_2k-1=a₁+（k-1）×2=2k=n+1．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{n，n為偶數(shù)}\\{n+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）b_n=$\frac{（n+1）^{2}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{4{n}^{2}+4n+1}{4n（n+1）}=1+\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
$_{2n-1}=\frac{（2n）^{2}}{2n•2n}=1$．
又c_n=（-1）ⁿ•b_n，
∴${c}_{2n-1}+{c}_{2n}=（-1）^{2n-1}_{2n-1}+（-1）^{2n}_{2n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
于是，${S}_{2n}=\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．