Question

18．已知函數(shù)f（x）=xlnx-e^x+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）證明：f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得f（1）與f′（1）的值，代入直線方程的點斜式可得切線方程；
（Ⅱ）要證f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，即xlnx-e^x+1-sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是證xlnx＜e^x+sinx-1在（0，+∞）上恒成立，然后分0＜x≤1與x＞1證明，當(dāng)0＜x≤1時成立，當(dāng)x＞1時，令g（x）=e^x+sinx-1-xlnx，然后兩次求導(dǎo)即可證明f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=lnx+1-e^x，
f（1）=1-e，f′（1）=1-e，
故切線方程是：y-1+e=（1-e）（x-1），
即（1-e）x-y=0；
（Ⅱ）證明：要證f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立，
即xlnx-e^x+1-sinx＜0在（0，+∞）恒成立，也就是證xlnx＜e^x+sinx-1在（0，+∞）上恒成立，
當(dāng)0＜x≤1時，e^x+sinx-1＞0，xlnx≤0，
故xlnx＜e^x+sinx-1，也就是f（x）＜sinx；
當(dāng)x＞1時，令g（x）=e^x+sinx-1-xlnx，
g′（x）=e^x+cosx-lnx-1，
令h（x）=g′（x）=e^x+cosx-lnx-1，
h′（x）=${e}^{x}-\frac{1}{x}-sinx$＞0，故h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＞h（1）=e+cos1-1＞0，即g′（x）＞0，則g（x）＞g（1）=e+sin1-1＞0，
即xlnx＜e^x+sinx-1，即f（x）＜sinx，
綜上所述，f（x）＜sinx在（0，+∞）上恒成立．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，利用兩次求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解答該題的關(guān)鍵，是壓軸題．