Question

1．已知函數(shù)f（x）=lg$\frac{1+ax}{1-2x}（{a＞0}）$是奇函數(shù)，則函數(shù)$g（x）={log_{\frac{1}{a}}}（{{x^2}-6x+5}）$的單調(diào)遞減區(qū)間是（5，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，從而f（-x）=-f（x），這樣即可求出a=2，從而$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$，進而可判斷g（x）是由t=x²-6x+5和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，并且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$為減函數(shù)，這樣根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求出g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：f（x）是奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x），即$lg\frac{1-ax}{1+2x}=-lg\frac{1+ax}{1-2x}$；
∴$lg\frac{1-ax}{1+2x}=lg\frac{1-2x}{1+ax}$；
∴$\frac{1-ax}{1+2x}=\frac{1-2x}{1+ax}$；
∴1-a²x²=1-4x²；
∴a²=4，且a＞0；
∴a=2；
∴$g（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-6x+5）$，該函數(shù)是由t=x²-6x+5和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)；
且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$為減函數(shù)，t＞0；
∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（5，+∞）．
故答案為：（5，+∞）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，對數(shù)的運算，多項式相等的充要條件，以及復(fù)合函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性．