【題目】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an2﹣(2an﹣1﹣1)an﹣2an﹣1=0(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=1,b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n .
【答案】解:(Ⅰ) 變形可得(an﹣2an﹣1)(an+1)=0, 即有an=2an﹣1或an=﹣1,
又由數(shù)列{an}各項(xiàng)都為正數(shù),則有an=2an﹣1 ,
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=1,公比為2的等比數(shù)列,則
由題意知,當(dāng)n=1時(shí),b1=b2﹣1,故b2=2,
當(dāng)n≥2時(shí), ,
和b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1(n∈N*)
作差得, ,整理得: ,∴ =1,∴bn=n
∴ ;bn=n,n∈N*
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
因此 ,
∴ ,
兩式作差得:
【解析】(Ⅰ)推出數(shù)列{an}是等比數(shù)列,然后求解通項(xiàng)公式,利用作差法,然后求解{bn}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),∠B,∠C的平分線所在直線方程分別為x-2y=0和x+y-1=0,求BC所在直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,線段的垂直平分線交圓于點(diǎn)和,且.
(1)求直線的方程;
(2)求圓的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)在圓上,試問(wèn)使△的面積等于8的點(diǎn)共有幾個(gè)?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,且過(guò)點(diǎn), , 是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線: ,且,垂足為, ,垂足為,若,且的面積是面積的5倍,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線E:y2=4x,設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且 = (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))
(Ⅰ)求證:直線AB必過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點(diǎn),求四邊形AGBD面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中,,E,F是PA和AB的中點(diǎn)。
(1)求證: EF||平面PBC ;
(2)求E到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 cosB+ cosA= (I)求∠C的大;
(II)求sinB﹣ sinA的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足 ,若目標(biāo)函數(shù)z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10,最小值為﹣2m﹣2,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.[﹣1,2]
B.[﹣2,1]
C.[2,3]
D.[﹣1,3]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+x+ .
(Ⅰ)若a=﹣2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≥a+1在(0,+∞)上恒成立,求a的值.
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