【題目】已知拋物線E:y2=4x,設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且 = (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))
(Ⅰ)求證:直線AB必過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點(diǎn),求四邊形AGBD面積的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)直線AB的方程為:x=my+t,A( ,y1)、B( ,y2),
聯(lián)立 得y2﹣4my﹣4t=0,則y1+y2=4m,與y1y2=﹣4t,
由 得: y1y2=﹣18或y1y2=2(舍).
即 ,所以直線AB過(guò)定點(diǎn) ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 = ,
同理得, = ,
則四邊形AGBD面積
= ,
令 ,
則 是對(duì)稱(chēng)軸為μ<0,開(kāi)口向上,函數(shù)是關(guān)于μ的增函數(shù),當(dāng)μ=2時(shí)函數(shù)取得最小值.
故Smin=88.
當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取到最小值88
【解析】(Ⅰ)設(shè)出直線AB的方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,利用數(shù)量積為0,求出k,化簡(jiǎn)直線方程推出直線必過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo);(Ⅱ)利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式,表示出三角形的面積,通過(guò)換元法,利用函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸正半軸且單位長(zhǎng)度相同的極坐標(biāo)系中曲線C1:ρ=1, (t為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線C1上的點(diǎn)到曲線C2距離的最小值;
(Ⅱ)若把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的 倍,得到曲線 .設(shè)P(﹣1,1),曲線C2與 交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為矩形,且平面, ,為的中點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求三棱錐的體積;
(3)探究在上是否存在點(diǎn),使得平面,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有成立,且當(dāng)時(shí)<0恒成立.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)若=-2,求函數(shù)在上的最大值;
(3)求關(guān)于的不等式的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓過(guò)點(diǎn),直線交軸于,且, 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作直線交橢圓于兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為,且,證明:直線過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,an2﹣(2an﹣1﹣1)an﹣2an﹣1=0(n≥2,n∈N*),數(shù)列{bn}滿足b1=1,b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1(n∈N*)
(Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在直三棱柱中, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).
(1)求證: ∥平面;
(2)若,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體,關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征,下列說(shuō)法不正確的是
A. 該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體
B. 該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)
C. 該幾何體有8個(gè)面,并且各面均為三角形
D. 該幾何體有9個(gè)面,其中一個(gè)面是四邊形,其余均為三角形
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬, 田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽,則田忌的馬獲勝的概率為( )
A. B. C. D.
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