Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意當(dāng)a＞0時(shí)，求導(dǎo)，令f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，分類討論，求得f（x）的最小值，求得a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+2x，求導(dǎo)，令當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a≠0時(shí)，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域是（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2ax-（a+2）+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$（x＞0），（2分）
令f′（x）=0，得f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-（a+1）x+1}{x}$=$\frac{（2x-1）（ax-1）}{x}$=0，
∴x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{1}{a}$．（3分）
當(dāng)0＜$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
則f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；                                                            （4分）
當(dāng)1＜$\frac{1}{a}$＜e時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f（$\frac{1}{a}$）＜f（1）=-2，不合題意；     （5分）
當(dāng)$\frac{1}{a}$≥e時(shí)，f（x）在[1，e）上單調(diào)遞減，
f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意，（6分）
綜上：a≥1．
（2）設(shè)g（x）=f（x）+2x，即g（x）=ax²-ax+lnx，
只要g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可，而g′（x）=2ax-a+$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-ax+1}{x}$，（8分）
當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，此時(shí)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；                 （9分）
當(dāng)a≠0時(shí)，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，
則需要a＞0，對于函數(shù)y=2ax²-ax+1，過定點(diǎn)（0，1），對稱軸x=$\frac{1}{4}$＞0，
只需△=a²-8a≤0，（11分）
即0＜a≤8，
∴0≤a≤8，
a的取值范圍[0，8]．（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，屬于中檔題．