Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x²-4x+3|，若關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是[-1，-$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 若關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，則函數(shù)g（x）=f（x）-x的圖象與直線y=a至少有三個交點，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：令g（x）=f（x）-x=|x²-4x+3|-x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+3，x＜1，或x＞3}\\{-{x}^{2}+3x-3，1≤x≤3}\end{array}\right.$，
其圖象如下圖所示：

當x=1時，函數(shù)取極小值-1，當x=$\frac{3}{2}$時，函數(shù)取極大值-$\frac{3}{4}$，當x=3時，函數(shù)取極小值-3，
若關(guān)于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，
則函數(shù)g（x）的圖象與直線y=a至少有三個交點，
故a∈[-1，-$\frac{3}{4}$]，
故答案為：[-1，-$\frac{3}{4}$]

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應用，函數(shù)的圖象，函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，難度中檔．