Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-a（x-lnx）．
（1）當a=1時，試求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a≤0時，試求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）在（0，1）內(nèi)有極值，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，利用導數(shù)的幾何意義求解；
（2）求導，研究導函數(shù)的取值情況即可求解；
（3）問題等價于f′（x）=0在x∈（0，1）內(nèi)有解，求導后分析其取值情況即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-（x-lnx），f（1）=e-1，
求導，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-1+$\frac{1}{x}$，則f′（1）=0，
∴切線方程為y=e-1．
（2）求導，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-a（1-$\frac{1}{x}$）=$\frac{（{e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當a≤0時，對于?x∈（0，+∞），e^x-ax＞0恒成立，
∴f′（x）＞0，x＞1；
f′（x）＜0，0＜x＜1，
∴單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；
（3）若f（x）在（0，1）內(nèi)有極值，則f′（x）=0在x∈（0，1）內(nèi)有解，
令f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$，e^x-ax=0，a=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
設g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，x∈（0，1），則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{x}$，當x∈（0，1）時，g′（x）＜0恒成立，
g（x）單調(diào)遞減，又g（1）=e，
又當x→0時，g（x）→∞，即g（x）在∈（0，1）上的值域為（e，+∞），
∴當a＞e時，f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-ax）（x-1）}{{x}^{2}}$=0，
設H（x）=e^x-ax，則H′（x）=e^x-a，x∈（0，1），
∴H（x）在x∈（0，1）單調(diào)遞減，
由H（0）=1＞0，H（1）=e-a＜0，
∴H（0）=0，在x∈（0，1），有唯一解x₀，

x	（0，x0）	x0	（x0，1）
H（x）	+	0	-
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

∴當a＞e時，f（x）在（0，1）內(nèi)有極值且唯一，當a≤e時，當x∈（0，1），時，f′（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增，不成立，
綜上，a的取值范圍為（e，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的綜合應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查分類討論思想及轉化思想的應用，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．