Question

已知函數f（x）=4x³+ax²+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=-12x．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在[-3，1]上的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數，從而得到切線的斜率，建立等式關系，再根據切點在函數圖象建立等式關系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數f（x）的解析式；
（2）先求出f′（x）=0的值，根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．
解答：解：（1）f′（x）=12x²+2ax+b，f′（1）=12+2a+b=-12．①
又x=1，y=-12在f（x）的圖象上，
∴4+a+b+5=-12．②
由①②得a=-3，b=-18，
∴f（x）=4x³-3x²-18x+5．
（2）f′（x）=12x²-6x-18=0，得x=-1，，
f（-1）=16，f（）=-，f（-3）=-76，f（1）=-13．
∴f（x）的最大值為16，最小值為-76．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數求閉區(qū)間上函數的最值等基礎題知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于基礎題．