Question

已知函數(shù)，.
(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)時，函數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ)設(shè)正實數(shù)滿足，求證：．

Answer 1

當(dāng)時，只有單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，,單調(diào)遞減區(qū)間為.;詳見解析.

試題分析：先求出的導(dǎo)數(shù)，討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負與函數(shù)單調(diào)性得關(guān)系求出單調(diào)區(qū)間；當(dāng)x>1時，函數(shù)f(x)>g(x)恒成立轉(zhuǎn)化為>0恒成立.結(jié)合第問討論的單調(diào)區(qū)間得出的范圍；結(jié)合第問，令，，所以，再利用柯西不等式，，其中由條件.最后得證.
試題解析：（Ⅰ）易知,定義域是.
                                1分
由的判別式
①當(dāng)即時，恒成立，則在單調(diào)遞增    2分
②當(dāng)時，在恒成立，則在單調(diào)遞增      3分
③當(dāng)時，方程的兩正根為
則在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增
綜上，當(dāng)時，只有單調(diào)遞增區(qū)間
當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為   5分
（Ⅱ）即時，恒成立
當(dāng)時，在單調(diào)遞增 ∴當(dāng)時，滿足條件  7分
當(dāng)時，在單調(diào)遞減
則在單調(diào)遞減
此時不滿足條件
故實數(shù)的取值范圍為                                         9分
（Ⅲ）由（2）知，在恒成立
令 則         10分
∴                   11分
又
其中
∴                          13分
∴                                            14分