Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a|x|+

2

ax

（其中常數(shù)a＞0，且a≠1）．
（1）當a=10時，解關(guān)于x的方程f（x）=m（其中常數(shù)m＞2

2

）；
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，2]上的最小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=10時，f（x）=

10x+ 2 10x  x ≥ 0 3 10x        x＜0.

按照分段函數(shù)選擇解析式，
①當x＜0時，f（x）=

3

10x

＞3．因為m＞2

2

．所以當2

2

＜m≤3時，方程f（x）=m無解；當m＞3，由10^x=

3

m

求解．
②當x≥0時，10^x≥1．由f（x）=m得10^x+

2

10x

=m，轉(zhuǎn)化為（10^x）²-m10^x+2=0．求解．
（2）根據(jù)題意有g(shù)（x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），根據(jù)指數(shù)函數(shù)，分①當a＞1時，②當0＜a＜1時，兩種情況分析，每種情況下，根據(jù)絕對值，再按照x≥0時和-2≤x＜0兩種情況討論．最后綜合取并集．

解答：解：（1）f（x）=

10x+ 2 10x  x ≥ 0 3 10x        x＜0.

（2分）
①當x＜0時，f（x）=

3

10x

＞3．因為m＞2

2

．
則當2

2

＜m≤3時，方程f（x）=m無解；
當m＞3，由10^x=

3

m

，得x=lg

3

m

．（4分）
②當x≥0時，10^x≥1．由f（x）=m得10^x+

2

10x

=m，
∴（10^x）²-m10^x+2=0．
因為m＞2

2

，判別式△=m²-8＞0，解得10^x=

m± m2-8

2

．
因為m＞2

2

，所以

m+ m2-8

2

＞

2

＞1．
所以由10^x=

m+ m2-8

2

，解得x=lg

m+ m2-8

2

．
令

m- m2-8

2

=1，得m=3．
所以當m＞3時，

m- m2-8

2

=

4

m+ m2-8

＜

4

3+ 32-8

=1，
當2

2

＜m≤3時，

m- m2-8

2

=

4

m+ m2-8

＞

4

3+ 32-8

=1，解得x=lg

m- m2-8

2

．
綜上，當m＞3時，方程f（x）=m有兩解x=lg

3

m

和x=lg

m+ m2-8

2

；
當2

2

＜m≤3時，方程f（x）=m有兩解x=lg

m± m2-8

2

．（8分）

（2）①若0＜a＜1，
當x＜0時，0＜f（x）=

3

ax

＜3；
當0≤x≤2時，f（x）=a^x+

2

ax

．
令t=a^x，則t∈[a²，1]，g（t）=t+

2

t

在[a²，1]上單調(diào)遞減，
所以當t=1，即x=0時f（x）取得最小值為3．
當t=a²時，f（x）取得最大值為a2+

2

a2

．
此時f（x）在（-∞，2]上的值域是（0，a2+

2

a2

]，沒有最小值．（11分）
②若a＞1，
當x＜0時，f（x）=

3

ax

＞3；
當0≤x≤2時f（x）=a^x+

2

ax

．
令t=a^x，g（t）=t+

2

t

，則t∈[1，a²]．
①若a²≤

2

，g（t）=t+

2

t

在[1，a²]上單調(diào)遞減，
所以當t=a²即x=2時f（x）取最小值a²+

2

a2

，最小值與a有關(guān)；（13分）
②a²＞

2

，g（t）=t+

2

t

在[1，

2

]上單調(diào)遞減，在[

2

，a²]上單調(diào)遞增，
所以當t=

2

即x=log_a

2

時f（x）取最小值2

2

，最小值與a無關(guān)．（15分）
綜上所述，當a≥

4	2

時，f（x）在（-∞，2]上的最小值與a無關(guān)．（16分）

點評：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了方程的根，函數(shù)的最值等問題，還考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想．