Question

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）請(qǐng)?jiān)诰�段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實(shí)；
（2）求直線EC與平面ABED所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形中位線定理，平行四邊形判定及性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，可得當(dāng)F為CE中點(diǎn)時(shí)，恰有直線BF∥平面ACD；
（2）取AD中點(diǎn)G，連接CG、EG，則∠CEG即為直線CE與平面ABED所成的角，解三角形CEG可得答案．

解答：解：如圖所示：
（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥ED，
設(shè)F為線段CE的中點(diǎn)，H是線段CD的中點(diǎn)，
連接FH，則FH∥=

1

2

ED，
∴FH∥=AB，…3分
∴四邊形ABFH是平行四邊形，
∴BF∥AH，
由BF?平面ACD內(nèi)，AH?平面ACD，
∴BF∥平面ACD；…6分
（2）取AD中點(diǎn)G，連接CG、EG，則CG⊥AD，
又平面ABED⊥平面ACD，
∴CG⊥平面ABED，
∴∠CEG即為直線CE與平面ABED所成的角，…9分
設(shè)為α，則在Rt△CEG中，
有sinα=

CG

CE

=

3

2 2

=

6

4

．   …12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的性質(zhì)，二面角，（1）的關(guān)鍵是在平面ACD中找到一條與BF平行的直線，而（2）的關(guān)鍵是求出二面角的平面角．