Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=2xlnx，對(duì)一切x∈（0，+∞），都有h（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若x=3是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=-7x+b的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，
（Ⅱ）分離參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)m（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅲ）f（x）與g（x）恰有1個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=g（x）有1個(gè)根，得到x³-4x²+4x=b有1個(gè)根，令F（x）=x³-4x²+4x，F(xiàn)′（x）=3x²-8x+4，求出F（x）的極大值和極小值，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
由△=4a2+36＞0，$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
解得a≤0；
（Ⅱ）∵h(yuǎn)（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6在x∈（0，+∞）恒成立，
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)m（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，（x＞0），則m′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故m（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
m（x）_最小值=m（1）=4，故a≤4；
（Ⅲ）∵x=3是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（3）=0，解得：a=4，
∵f（x）與g（x）恰有1個(gè)交點(diǎn)，即f（x）=g（x）有1個(gè)根，
∴x³-4x²+4x=b有1個(gè)根，
令F（x）=x³-4x²+4x，F(xiàn)′（x）=3x²-8x+4，
令F′（x）＞0，解得：x＞2或x＜$\frac{2}{3}$，令F′（x）＜0，解得：$\frac{2}{3}$＜x＜2，
故F（x）在（-∞，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴F（x）_極大值=F（$\frac{2}{3}$）=$\frac{32}{27}$，F(xiàn)（x）_極小值=F（2）=0，
故b＜0或b＞$\frac{32}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值和最值問題．