Question

4．命題P：函數(shù)y=lg（-x²+4ax-3a²）（a＞0）有意義，命題q：實數(shù)x滿足$\frac{x-3}{x-2}＜0$．
（1）當(dāng)a=1且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分別求出p，q成立的等價條件，利用且p∧q為真，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由-x²+4ax-3a²＞0得x²-4ax+3a²＜0，
即（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，則p：a＜x＜3a，a＞0．
若a=1，則p：1＜x＜3，
由$\frac{x-3}{x-2}＜0$解得2＜x＜3．
即q：2＜x＜3．
若p∧q為真，則p，q同時為真，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
∴實數(shù)x的取值范圍（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，
∴即（2，3）是（a，3a）的真子集．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{3a≥3}\\{a≤2}\end{array}}\right.$，解得1≤a≤2．實數(shù)a的取值范圍為[1，2]．

點評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用逆否命題的等價性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵．