Question

20．已知橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F(xiàn)₂與橢圓上點的連線的中最短線段的長為$\sqrt{2}-1$．
（1）求橢圓Γ的標準方程；
（2）已知Γ上存在一點P，使得直線PF₁，PF₂分別交橢圓Γ于A，B，若${\overrightarrow{PF}_1}=2\overrightarrow{{F_1}A}，{\overrightarrow{PF}_2}=λ\overrightarrow{{F_2}B}（{λ＞0}）$，求直線PB的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的離心率和右焦點F₂與橢圓上點的連線的中最短線段的長，
列出方程組求出a、c的值，再求出b的值，即可寫出橢圓Γ的標準方程；
（2）設點P、A和B的坐標，寫出直線l_PA的方程，并與橢圓方程組成方程組，
消去x，得關于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系，
結合題意求出點P的坐標，即可求出直線PB的斜率值．

解答 解：（1）橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…①
右焦點F₂與橢圓上點的連線的中最短線段的長為$\sqrt{2}-1$，
即a-c=$\sqrt{2}$-1；…②
由①②解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}{-c}^{2}}$=1；
∴橢圓Γ的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設點P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則直線l_PA的方程為：x=my-1；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+1）y²-2my-1=0；
則y₀•y₁=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
又$\frac{1}{m}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$，∴m=$\frac{{x}_{0}+1}{{y}_{0}}$；
∴$\frac{|{PF}_{1}|}{{|F}_{1}A|}$=-$\frac{{y}_{0}}{{y}_{1}}$=-$\frac{{y}_{0}}{-\frac{1}{{（m}^{2}+2{）y}_{0}}}$
=（m²+2）${{y}_{0}}^{2}$=[$\frac{{{（x}_{0}+1）}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$+2]${{y}_{0}}^{2}$
=${{（x}_{0}+1）}^{2}$+2${{y}_{0}}^{2}$=${{（x}_{0}+1）}^{2}$+2-${{x}_{0}}^{2}$；
∴$\frac{|{PF}_{1}|}{{|F}_{1}A|}$=3+2x₀，∴2+2x₀=2，
解得x₀=-$\frac{1}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，±$\frac{\sqrt{14}}{4}$），
∴K_PB=${K}_{{PF}_{2}}$=$\frac{±\frac{\sqrt{14}}{4}}{-\frac{1}{2}-1}$=$\overline{+}$$\frac{\sqrt{14}}{6}$；
故直線PB的斜率為±$\frac{\sqrt{14}}{6}$．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線方程的綜合應用問題，也考查了方程組和根與系數(shù)的應用問題，是綜合性題目．