Question

12．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2sinθ，設(shè)直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3t+2}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）判斷直線l和曲線C的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，將曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）圓心C到直線l的距離$d=\frac{{|{3-8}|}}{{\sqrt{16+9}}}=1=r$，即可判斷直線l和曲線C的位置關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標(biāo)方程可化為：ρ²=2ρsinθ，
又$\left\{\begin{array}{l}ρsinθ=y\\{ρ^2}={x^2}+{y^2}\end{array}\right.$，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²-y²-2y=0，
將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程得：4x+3y-8=0；
（Ⅱ）曲線C為圓，圓C的圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑r=1，
則圓心C到直線l的距離$d=\frac{{|{3-8}|}}{{\sqrt{16+9}}}=1=r$，∴直線l與圓C相切．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．