Question

12．非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a⊥（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{2π}{3}$，則$\frac{{|{\overrightarrow a}|}}{{|{\overrightarrow b}|}}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得出$\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=0$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，便可得到$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|=0$，從而可求出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}⊥（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）$，且$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{2π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=2{\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$2|\overrightarrow{a}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|=0$；
又$|\overrightarrow{a}|≠0，|\overrightarrow|≠0$；
∴$2|\overrightarrow{a}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow|$；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}=\frac{1}{4}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．