Question

10．過(guò)橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，則直線MN恒過(guò)定點(diǎn)$（{\frac{4}{7}，\;0}）$．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為x=my+1，m≠0，則直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}$y+1，分別代入橢圓方程，由于韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，求得斜率和直線方程，即可得到定點(diǎn)H，檢驗(yàn)m=0也成立得答案．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1，得a²=4，b²=3，則c²=4-3=1，
∴橢圓右焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)直線AB的方程為x=my+1，m≠0，
則直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}$y+1，
聯(lián)立AB方程與橢圓方程，消去x，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴x₁+x₂=（my₁+1）+（my₂+1）
=m（y₁+y₂）+2=$-\frac{6{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}+2=\frac{8}{3{m}^{2}+4}$，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M（$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$，-$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$），
將M的坐標(biāo)中的m用-$\frac{1}{m}$代換，得CD的中點(diǎn)N（$\frac{4{m}^{2}}{3+4{m}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{m}^{2}}$），
k_MN=$\frac{7m}{4（{m}^{2}-1）}$，
直線MN的方程為y+$\frac{3m}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{7m}{4（{m}^{2}-1）}$（x-$\frac{4}{3{m}^{2}+4}$），
即為y=$\frac{m}{{m}^{2}-1}$（$\frac{7}{4}$x-1），
令$\frac{7}{4}$x-1=0，可得x=$\frac{4}{7}$，即有y=0，
則直線MN過(guò)定點(diǎn)H，且為H（$\frac{4}{7}$，0）．
當(dāng)m=0，即有x=1，可得直線MN也過(guò)定點(diǎn)H．
故答案為：$（{\frac{4}{7}，\;0}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查直線系方程，是中檔題．