Question

7．已知三棱錐O-ABC的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為3的球面上，O是球心，∠AOB=150°，當(dāng)△AOC與△BOC的面積之和最大時(shí)，三棱錐O-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，可得當(dāng)∠AOC=∠BOC=90°時(shí)，△AOC和△BOC的面積之和最大，此時(shí)OA⊥OC，OB⊥OC，∴OC⊥平面AOB，然后利用等積法求得答案．

解答 解：如圖，

設(shè)球O的半徑為R，則R=3．
∵S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$R²（sin∠AOC+sin∠BOC），
∴當(dāng)∠AOC=∠BOC=90°時(shí)，△AOC和△BOC的面積之和最大，
此時(shí)OA⊥OC，OB⊥OC，∴OC⊥平面AOB，
∴V_O-ABC=V_C-OAB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{R}^{2}sin150°×R$
=$\frac{1}{6}×{3}^{3}×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柱、錐、臺(tái)體得體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．