Question

7．已知三棱錐O-ABC的頂點A，B，C都在半徑為3的球面上，O是球心，∠AOB=150°，當△AOC與△BOC的面積之和最大時，三棱錐O-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，可得當∠AOC=∠BOC=90°時，△AOC和△BOC的面積之和最大，此時OA⊥OC，OB⊥OC，∴OC⊥平面AOB，然后利用等積法求得答案．

解答 解：如圖，

設球O的半徑為R，則R=3．
∵S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$R²（sin∠AOC+sin∠BOC），
∴當∠AOC=∠BOC=90°時，△AOC和△BOC的面積之和最大，
此時OA⊥OC，OB⊥OC，∴OC⊥平面AOB，
∴V_O-ABC=V_C-OAB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{R}^{2}sin150°×R$
=$\frac{1}{6}×{3}^{3}×\frac{1}{2}=\frac{9}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查柱、錐、臺體得體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．