Question

10．已知f（x）=（x²-4）（x-a），其中a∈R．
（1）求f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可，
（2）根據(jù)f′（-1）=0即可求出a的值，由導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)的關(guān)系判斷f（x）在[-2，4]上單調(diào)性，即可求出最值．

解答 解：（1）f（x）=x³-ax²-4x+4a，
∴f′（x）=3x²-2ax-4．   
（2）由f'（-1）=0得3+2a-4=0，∴$a=\frac{1}{2}$．
則$f（x）=x{\;}^3-\frac{1}{2}{x^2}-4x+2$，
∴$f'（x）=3{x^2}-x-4=3（x+1）（x-\frac{4}{3}）$，
當(dāng)x∈$[-2，-1）∪（\frac{4}{3}，4]$時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-2，-1）和$（\frac{4}{3}，4]$；
當(dāng)x∈$（-1，\frac{4}{3}）$時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（-1，\frac{4}{3}）$． 
∵$f（-1）=\frac{9}{2}$，f（4）=42，
∴f（x）在[-2，4]上的最大值f_max（x）=f（4）=42．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值、最值的關(guān)系，屬于中檔題．