Question

9．設(shè)定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足xf′（x）-f（x）=xlnx，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，則f（x）（　　）

• A． 有極大值，無極小值
• B． 有極小值，無極大值
• C． 既有極大值，又有極小值
• D． 既無極大值，也無極小值

Answer 1

分析 由xf′（x）-f（x）=xlnx，得到${[\frac{f（x）}{x}]}^{′}$=$\frac{lnx}{x}$，求出$\frac{lnx}{x}$的原函數(shù)，得到f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+cx，由f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，解出c的值，從而得到f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$x，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)的極值即可．

解答 解：∵xf′（x）-f（x）=xlnx，
∴$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴${[\frac{f（x）}{x}]}^{′}$=$\frac{lnx}{x}$，
而${[\frac{{（lnx）}^{2}}{2}]}^{′}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{（lnx）}^{2}}{2}$+c，
∴f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+cx，
由f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$，解得c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$（1+lnx）²≥0，
f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）無極值，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題求出$\frac{lnx}{x}$的原函數(shù)，得到f（x）=$\frac{{x（lnx）}^{2}}{2}$+cx，求出f（x）的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．