Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，3），與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{14}-\frac{{y}^{2}}{13}$=1有相同的焦點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程；
（2）過A點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，則PQ是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得橢圓的c，由A點(diǎn)，可得b，求得a，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為-$\frac{1}{k}$，直線AP的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，k換為-$\frac{1}{k}$，可得Q的坐標(biāo)，求出直線PQ的斜率，以及方程，整理可得恒過定點(diǎn)．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{14}-\frac{{y}^{2}}{13}$=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（3$\sqrt{3}$，0），（-3$\sqrt{3}$，0），
可得橢圓中的c=3$\sqrt{3}$，由橢圓過點(diǎn)A（0，3），可得b=3，
則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=6，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線AP的斜率為k，直線AQ的斜率為-$\frac{1}{k}$，
直線AP的方程為y=kx+3，代入橢圓x²+4y²-36=0，
可得（1+4k²）x²+24kx=0，
解得x₁=-$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，y₁=kx₁+3=$\frac{3-12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
即有P（-$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{3-12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$），
將上式中的k換為-$\frac{1}{k}$，可得Q（$\frac{24k}{4+{k}^{2}}$，$\frac{3{k}^{2}-12}{4+{k}^{2}}$），
則直線PQ的斜率為k_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{5k}$，
直線PQ的方程為y-$\frac{3-12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{{k}^{2}-1}{5k}$（x+$\frac{24k}{1+4{k}^{2}}$），
可化為x（k²-1）-（5y+9）k=0，
可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=-$\frac{9}{5}$．
則PQ過定點(diǎn)（0，-$\frac{9}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查直線恒過定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．