Question

4．已知函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線(xiàn)mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則m²+$\frac{1}{4}$n的最小值為$\frac{3}{16}$．

Answer 1

分析 首先利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象求出A點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于m，n的等式，將所求轉(zhuǎn)化為含有m的二次函數(shù)，配方求最小值．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，所以A（-2，-1），
又點(diǎn)A在直線(xiàn)mx+ny+1=0上，所以-2m-n+1=0，即2m+n=1，
所以m²+$\frac{1}{4}$n=m²+$\frac{1}{4}（1-2m）$=m²-$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{4}$=（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{16}$$≥\frac{3}{16}$；
故答案為：$\frac{3}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)圖象以及利用二次函數(shù)求代數(shù)式的最值．