Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，0，1），$\overrightarrow$=（0，1，1），向量$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直，k為實(shí)數(shù)．
（I）求實(shí)數(shù)k的值；
（II）記$\overrightarrow{c}$=k$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)即可得出$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow=（1，-k，1-k）$，而由（$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$）$⊥\overrightarrow{a}$即可得到$（\overrightarrow{a}-k\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$，進(jìn)而可求出k=2；
（Ⅱ）先得到$\overrightarrow{c}=（2，0，2）$，進(jìn)而得出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（1，-1，0），\overrightarrow{c}-\overrightarrow=（2，-1，1）$，可設(shè)向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$的夾角為θ，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出$cosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而得出θ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}=（1，0，1），\overrightarrow=（0，1，1）$；
∴$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow=（1，-k，1-k）$；
∵$\overrightarrow{a}-k\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$垂直；
∴$（\overrightarrow{a}-k\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=1+1-k=0$；
∴k=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}=（2，0，2）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（1，-1，0），\overrightarrow{c}-\overrightarrow=（2，-1，1）$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{2}，|\overrightarrow{c}-\overrightarrow|=\sqrt{6}$，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）=3$；
記向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$的夾角為θ，則：
$cosθ=\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow）}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow||\overrightarrow{c}-\overrightarrow|}=\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵0≤θ≤π；
∴$θ=\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 考查向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運(yùn)算，向量垂直的充要條件，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長度，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量夾角的余弦公式．