Question

【題目】已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）（文）若是橢圓上的動點，過P作垂直于x軸的垂線，垂足為M，延長MP至N，使得P恰好為MN中點，求點N的軌跡方程；

（理）若已知點，是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

Answer 1

【答案】（1）y2＝1（2）（文）x2+y2＝4．（理）（x）2+4（y）2＝1．

【解析】

（1）由左焦點為F（），右頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程．

（2）（文）設N（x，y），則M（x，0），利用中點坐標公式可得P（x，），代入橢圓的標準方程即可得出．

（理）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x0，y0），由中點坐標公式可知，將P代入橢圓方程，即可求得線段PA中點M的軌跡方程

（1）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，設1（a＞b＞0），

由橢圓的左焦點為F（，0），右頂點為D（2，0），即a＝2，c，

則b2＝a2﹣c2＝1，

∴橢圓的標準方程為：y2＝1

（2）（文）設N（x，y），則M（x，0），利用中點坐標公式可得P（x，），

代入橢圓C1的標準方程為x2+y2＝4．

所以N的軌跡方程為x2+y2＝4．

（理）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x0，y0），

由中點坐標公式可知，整理得：，

由點P在橢圓上，

∴（2y）2＝1，

∴線段PA中點M的軌跡方程是：（x）2+4（y）2＝1．